一、向量

线性代数的核心与两个向量运算有关。向量相加：v + w，然后将他们乘以数字c和d得到：cv和dw。以上两个运算组合起来就得到了向量的线性组合：cv + dw。

向量的线性组合：\(c \boldsymbol{v} + d\boldsymbol{w} = c\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix} 2\\3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c+2d\\c+3d \end{bmatrix}\)

线性组合非常重要！有时我们想要一种特殊的组合，比如\(c=2\)和\(d=1\)，可以产生\(c\mathbf{v} + d \mathbf{w}=(4,5)\)。我们也可以产生v，w的所有的组合。

向量可以看作是沿着一条直线。当w不在这条直线上时，组合\(c\mathbf{v} + d \mathbf{w}\)就是在一个二维平面上的值。四维空间的四个向量u，v，w，z出发，组合\(c \mathbf{u} + d\mathbf{v} + e\mathbf{w} + f\mathbf{z}\)可能能够填充整个空间。当然也有特殊情况，这些向量组合也可能会在一个平面或是一条直线上。（设想一下高中时所学的里的合成与分解，就自然能够明白了）

第一章解释了这些中心思想，一切建立在这些基础上。我们从二维矢量和三维矢量开始学习，然后是更高维度。线性代数真正令人印象深刻的点是，如何顺利进入n维空间。你可以想象一个10维空间，即使这东西画不出来。

这就是本书的目的，即进入n维空间。第一步是1.1和1.2节中的计算，然后第三节概述了这些思想。