2.7 转置和排列

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1. $Ax$、$AB$和$A^{-1}$的转置是$x^T{A}^T$、$B^T{A}^T$和$(A^T{)}^{-1}$。
2. 点积（内积）有$x\cdot y=x^{T}y$，这是$(1\times n)(n\times 1)=(1\times 1)$。外积为$x{y}^T=\mathrm{列}\times \mathrm{行}=(n\times 1)(1\times n)=(n\times n)$。
3. $Ax\cdot y=x\cdot A^{T}y$因为$(Ax{)}^{T}y=x^T{A}^{T}y=x^T(A^{T}y)$。
4. 对称矩阵$S^T=S$（乘积依然是对称的）。
5. 正交矩阵$Q^T=Q^{-1}$。Q的列向量是正交的单位向量。
6. 排列矩阵P与I有相同的行。有n!个不同的顺序。
7. Px给分量$x_1,x_2,\dots ,x_n$以新顺序排序。且$P^T=P^{-1}$。

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我们还需要一个矩阵，比逆矩阵简单，叫转置矩阵。$A$的转置为$A^T$，列行转换。

如果A是m×n的，转置就是n×m：

如果$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 4\end{array}\right]$那么$A^T=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 0\\ 3& 4\end{array}\right]$

其中$A^T$的第i行，第j列是A的第j行，第i列：

$(A^T{)}_{ij}=A_{ji}$

下三角矩阵的转置是上三角矩阵。

转置符合以下规则：

加：$A+B\mathrm{的}\mathrm{转}\mathrm{置}\mathrm{是}{A}^T+B^T$

乘：$AB\mathrm{的}\mathrm{转}\mathrm{置}(AB{)}^T=B^T{A}^T$

逆：$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$

从维度的角度来记忆理解会比较简单，A比如是m×t，B是t×n，AB就是m×n，AB转置就是n×m。由此来看A的转置t×m，B的转置n×t两者相乘要得到n×m的话，需要是B转置×A转置。

也有$(ABC{)}^T=C^T{B}^T{A}^T$。由此有：$A=LDU\mathrm{就}\mathrm{有}{A}^T=U^T{D}^T{L}^T$。对于主元矩阵$D=D^T$。

对于逆矩阵：$A^{-1}A=I$转置后有$A^T(A^{-1}{)}^T=I$。

A转置可逆的条件是A可逆。

内积的意义

内积是x和y向量各项的乘积之和。让我们用矩阵来表示吧。

T在内：点积或内积是$x^{T}y(1\times n)(n\times 1)$

T在外：第一级积或外积是$x{y}^T(n\times 1)(1\times n)$

$x^{T}y$是一个数字，而$x{y}^T$是一个矩阵。量子力学中会将其写成< x|y >（内积）和|x >< y|（外积）。

还有三个内积有意义的例子：

力学：做功=(力)(距离)=$x^{T}f$

电学：热损失=(电压降)(电流)=$e^{T}y$

经济学：收入=(数量)(价格)=$q^{T}p$

另外有$(Ax{)}^{T}y=x^T{A}^{T}y=x^T(A^{T}y)$

对称矩阵

对于一个对称矩阵来说，A和A的转置是没有区别的。我们将对称矩阵用字母S表示：

对称矩阵有：$S^T=S$，这意味着$s_{ji}=s_{ij}$。

对称矩阵的逆矩阵也是对称的，有：$(S^{-1}{)}^T=(S^T{)}^{-1}=S^{-1}$。

构造对称矩阵：$A^{T}A$、$A{A}^T$、$LD{L}^T$

一个矩阵A（矩形矩阵也可），$A^{T}A$会自动生成一个对称矩阵。

$$A^{T}A\mathrm{的}\mathrm{转}\mathrm{置}\mathrm{是}{A}^T(A^T{)}^T$$

矩阵$A{A}^T$也是对称矩阵，但是它是和$A^{T}A$不同的。根据经验大多数以矩形矩阵开始的都是以$A^{T}A$或$A{A}^T$结束的。

当对称矩阵消去时，因式分解为LDU时，$U=L^T$，也就是$S=LD{L}^T$。

排列矩阵

排列矩阵每一列都只有一个单独的1。$P^T$也是排列矩阵，两个排列矩阵的积也是排列矩阵。排列矩阵的逆矩阵也是排列矩阵。

最简单的排列矩阵P=I没有交换。然后就是行交换Pij。将I的所有可能的行交换列出来，就得到了所有可能的排列矩阵：

一个排列矩阵P有着单位矩阵I的所有行排序

重点：$P^{-1}$总是和$P^T$相等。$P{P}^T=I$

包括行交换的PA=LU因式分解

我们希望你能记住A=LU。它开始于$A=(E_{21}^{-1}\cdots E_{ij}^{-1}\cdots )U$。每个消去步骤都是由一个$E_{ij}$，并且由$E_{ij}^{-1}$逆转。这些逆被压缩为L。其对角线是1，结果是A=LU。

但是不是每个矩阵都可以这样的因式分解，有时需要进行行交换来产生主元。这些行交换被组合成了一个排列矩阵P。我们可以在消去前就进行行交换，也可以在消去后：（1）$PA=LU$（2）$A=L_1{P}_1{U}_1$。

$PA=LU$是常用的，可能不如$A=L_1{P}_1{U}_1$显得优雅。不必要在另一种形式上花费太多功夫，最重要的情况是P=I的情况，也就是没有行交换。