2.7 转置和排列

\(Ax\)、\(AB\)和\(A^{-1}\)的转置是\(x^{T}A^{T}\)、\(B^{T}A^{T}\)和\((A^{T})^{-1}\)。
点积（内积）有\(x\cdot y=x^{T}y\)，这是\((1\times n)(n\times 1)=(1\times 1)\)。外积为\(xy^{T}=列\times 行=(n\times 1)(1\times n)=(n\times n)\)。
\(Ax\cdot y=x\cdot A^{T}y\)因为\((Ax)^{T}y=x^{T}A^{T}y=x^{T}(A^{T}y)\)。
对称矩阵\(S^{T}=S\)（乘积依然是对称的）。
正交矩阵\(Q^{T}=Q^{-1}\)。Q的列向量是正交的单位向量。
排列矩阵P与I有相同的行。有n!个不同的顺序。
Px给分量\(x_1,x_2,\dots, x_n\)以新顺序排序。且\(P^{T}=P^{-1}\)。

我们还需要一个矩阵，比逆矩阵简单，叫转置矩阵。\(A\)的转置为\(A^{T}\)，列行转换。

如果A是m×n的，转置就是n×m：

如果\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&4\end{bmatrix}\)那么\(A^{T}=\begin{bmatrix}1&0\\2&0\\3&4\end{bmatrix}\)

其中\(A^T\)的第i行，第j列是A的第j行，第i列：

\((A^T)_{ij}=A_{ji}\)

下三角矩阵的转置是上三角矩阵。

转置符合以下规则：

加：\(A+B的转置是A^T+B^T\)

乘：\(AB的转置(AB)^T=B^TA^T\)

逆：\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)

从维度的角度来记忆理解会比较简单，A比如是m×t，B是t×n，AB就是m×n，AB转置就是n×m。由此来看A的转置t×m，B的转置n×t两者相乘要得到n×m的话，需要是B转置×A转置。

也有\((ABC)^T=C^TB^TA^T\)。由此有：\(A=LDU就有A^T=U^TD^TL^T\)。对于主元矩阵\(D=D^T\)。

对于逆矩阵：\(A^{-1}A=I\)转置后有\(A^T(A^{-1})^{T}=I\)。

A转置可逆的条件是A可逆。

内积的意义

内积是x和y向量各项的乘积之和。让我们用矩阵来表示吧。

T在内：点积或内积是\(x^Ty\qquad (1\times n)(n\times 1)\)

T在外：第一级积或外积是\(xy^T\qquad (n\times 1)(1\times n)\)

\(x^Ty\)是一个数字，而\(xy^T\)是一个矩阵。量子力学中会将其写成< x|y >（内积）和|x >< y|（外积）。

还有三个内积有意义的例子：

力学：做功=(力)(距离)=\(x^Tf\)

电学：热损失=(电压降)(电流)=\(e^Ty\)

经济学：收入=(数量)(价格)=\(q^Tp\)

另外有\((Ax)^{T}y=x^{T}A^{T}y=x^{T}(A^{T}y)\)

对于一个对称矩阵来说，A和A的转置是没有区别的。我们将对称矩阵用字母S表示：

对称矩阵有：\(S^T=S\)，这意味着\(s_{ji}=s_{ij}\)。

对称矩阵的逆矩阵也是对称的，有：\((S^{-1})^T=(S^T)^{-1}=S^{-1}\)。

一个矩阵A（矩形矩阵也可），\(A^TA\)会自动生成一个对称矩阵。

\[\begin{equation} A^TA的转置是A^T(A^T)^T \end{equation}\]

矩阵\(AA^T\)也是对称矩阵，但是它是和\(A^TA\)不同的。根据经验大多数以矩形矩阵开始的都是以\(A^TA\)或\(AA^T\)结束的。

当对称矩阵消去时，因式分解为LDU时，\(U=L^T\)，也就是\(S=LDL^T\)。

排列矩阵每一列都只有一个单独的1。\(P^T\)也是排列矩阵，两个排列矩阵的积也是排列矩阵。排列矩阵的逆矩阵也是排列矩阵。

最简单的排列矩阵P=I没有交换。然后就是行交换Pij。将I的所有可能的行交换列出来，就得到了所有可能的排列矩阵：

一个排列矩阵P有着单位矩阵I的所有行排序

重点：\(P^{-1}\)总是和\(P^T\)相等。\(PP^T=I\)

我们希望你能记住A=LU。它开始于\(A=(E^{-1}_{21}\cdots E^{-1}_{ij}\cdots)U\)。每个消去步骤都是由一个\(E_{ij}\)，并且由\(E^{-1}_{ij}\)逆转。这些逆被压缩为L。其对角线是1，结果是A=LU。

但是不是每个矩阵都可以这样的因式分解，有时需要进行行交换来产生主元。这些行交换被组合成了一个排列矩阵P。我们可以在消去前就进行行交换，也可以在消去后：（1）\(PA=LU\)（2）\(A=L_1P_1U_1\)。

\(PA=LU\)是常用的，可能不如\(A=L_1P_1U_1\)显得优雅。不必要在另一种形式上花费太多功夫，最重要的情况是P=I的情况，也就是没有行交换。